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Soll man den Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen, ist jedem
klar, dass man die Funktionsgleichungen gleichsetzen muss.
So genau erklären warum kann ein Schüler normalerweise
nicht. Irgendwie sind die da eben gleich, die Geraden.
Gesucht ist genaugenommen das x, bei dem die Funktionswerte beider
Geraden identisch sind, denn das bedeutet, dass die Punkte der Geraden
an der Stelle übereinstimmen.
Für dieses x muss also gelten:
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f1(x) = f2(x) |
Gern und formal schöner
auch f1(xs) = f2(xs)
Ergebnis - eleganter:
xs = (b2 - b1) : (m1 -
m2 )
ys = f1/2(xs) und S(xs;ys) |
<=> |
m1 · x + b1 = m2 ·
x + b2 |
<=> |
m1 · x - m 2 · x = b2
- b1
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<=> |
(m1 - m2 ) · x = b2 - b1 |
<=> |
x = (b2 - b1) : (m1
- m2 ) |
Die Scherzkekse unter den Schülern behaupten an dieser Stelle
oft, das sei der Schnittpunkt.
Es muss aber auch noch der beiden Funktionen gemeinsame Funktionswert
bestimmt werden. Theoretisch ist es egal, welche der beiden Funktionen
man hierzu verwendet.
(Praktisch oft nicht, da Rechenfehler gern vorkommen)
Beispiel
Drücken wir uns nicht um ein Beispiel:
f1(x) = -3 · x + 18
f2(x) = 1,5 · x - 45
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f1(x) = f2(x) |
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<=> |
-3 · x + 18 = 1,5
· x - 45 |
| - 1,5 x |
<=> |
-4,5 · x + 18 = -45
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| - 18 |
<=> |
-4,5 · x = -63
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| : (- 4,5) |
<=> |
x = 14 |
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einsetzen in f1 |
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f1(14) = -3 · 14 + 18 = -24 |
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(Probe: f2(14) = 1,5 · 14 -
45 = -24) |
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also: |
S ( 14 ; -24 ) |
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Präzision!!! |
Ich benutze die Begriffe Gerade, lineare Funktion
und Geradengleichung in der Tat etwas nachlässig.
Seis drum. |
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Bemerkung zur Nullstelle
Die Nullstelle ist natürlich einerseits der x-Wert (Stelle),
an der der y-Wert einer Funktion =0 ist.
Eigentlich ist das, was man im KOS
sieht ein Punkt, nämlich der Schnittpunkt der Funktion f mit
der x-Achse.
Der Ansatz ist also hier
f1(x) = m · x +
b; f2(x) = 0 (die x-Achse) |
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f1(x) = f2(x) |
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<=> |
m · x + b = 0
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<=> |
x = - (b/m)
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der bekannte Ansatz |
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